4월14일

Usings

정규분포

위치모수와 척도모수

- 정규분포 특징

• 이론: $Z\sim N(0,1) \Rightarrow aZ+b \sim N(b,a^2)$

• 생각보다 이거 엄청 신기한 기능이에요

• 정규분포에 어떠한 상수를 더해도 정규분포, 어떠한 상수를 곱해도 정규분포, 더하고 곱해도 정규분포!

- 위치모수, 척도모수

1. 확률변수 $Z$가 분포A를 따를때 $Z+b$도 분포A를 따름 $\Rightarrow$ 분포A는 위치모수를 가짐

2. 확률변수 $Z$가 분포B를 따를때 $aZ$도 분포B를 따름 $\Rightarrow$ 분포A는 척도모수를 가짐

3. 확률변수 $Z$가 분포C를 따를때 $aZ+b$도 분포C를 따름 $\Rightarrow$ 분포A는 위치모수와 척도모수를 가짐

- 예시:

• 분포C: {정규분포, 균등분포, 로지스틱, 이중지수, 코쉬}

• 분포A: 분포C랑 동일

• 분포B: 분포C ∪ {지수분포,감마분포}

• 분포C - 분포A: 없다고 생각하세요..

• 분포C - 분포B: {지수분포, 감마분포}

- 저런걸 어떻게 알아요? 특정분포가 위치모수를 가지는지 척도모수를 가지는지 어떻게 따져요?

• 이론: $Z$의 pdf가 $f_Z(x)$ $\Rightarrow$ $aZ+b$의 pdf는 $f_{aZ+b}(x)=\frac{1}{a}f_Z(\frac{x-b}{a})$

• 증명: 스스로 공부 + 최혜미교수님한테 여쭤보세요.. + 저한테 카톡으로 // 외우는게 편해요

• 결국 $f_Z(x)$가 분포C의 가능한 pdf중 하나의 형태일때 $\frac{1}{a}f_Z(\frac{x-b}{a})$ 역시 분포C의 가능한 pdf 중 하나의 형태라면 분포C는 위치모수와 척도모수를 가진다.

• $f_Z(x)$가 분포A의 가능한 pdf중 하나의 형태일때 $f_Z(x-b)$ 역시 분포A의 가능한 pdf 중 하나의 형태라면 분포A는 위치모수를 가진다.

• $f_Z(x)$가 분포B의 가능한 pdf중 하나의 형태일때 $\frac{1}{a}f_Z(\frac{x}{a})$ 역시 분포B의 가능한 pdf 중 하나의 형태라면 분포B는 척도모수를 가진다.

(예제1) $Z \sim Exp(1)$ 이면 $f_Z(x)=e^{-x}$ 이다. 이론에 따라서

$$f_{6Z}(x)=\frac{1}{6}f_Z\big(\frac{x}{6}\big)=\frac{1}{6}e^{-\frac{x}{6}}$$

이다. 그런데 이것은 평균이 6인 지수분포의 pdf와 모양이 같다. 일반화하면

$$Z \sim Exp(\lambda) \Rightarrow aZ \sim Exp(\lambda/a)$$

라고 볼 수 있다. 즉 지수분포를 따르는 화률변수에 임의의 상수값을 곱해도 여전히 지수분포를 따르므로 지수분포는 척도모수를 가진다고 볼 수 있다.

(예제2) $Z \sim N(0,\sigma^2)$ 이면 $f_Z(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x}{\sigma})^2}$ 이다. 이론에 따라서

$$f_{Z+3}(x)=f_Z(x-3)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-3}{\sigma})^2}$$

이다. 그런데 이것은 평균이 3이고 분산이 $\sigma^2$인 정규분포의 pdf와 모양이 같다. 일반화하면

$$Z \sim N(0,\sigma^2) \Rightarrow Z+b \sim N(b,\sigma^2)$$

라고 볼 수 있다. 즉 정규분포를 따르는 화률변수에 임의의 상수값을 더해도 여전히 정규분포를 따르므로 정규분포는 위치모수를 가진다고 볼 수 있다.

(예제3) $Z \sim Exp(1)$ 이면 $f_Z(x)=e^{-x}$ 이다. 이론에 따라서

$$f_{Z-1}(x)=f_Z\big(x+1\big)=e^{-(x+1)}$$

이다. 그런데 이것은 지수분포의 pdf중 한 형태라고 볼 수 없다. 즉 지수분포에서 어떠한 상수를 더한것이 지수분포라고 볼 수 없다. 지수분포는 위치모수를 가지지 않는다.

- 시뮬레이션 확인1 (정규분포)

- 시뮬레이션확인2 (지수분포)

평균과 분산의 추정